Klasik Mantığa Giriş (Notlar) | Mahmut Boyuneğmez

Mahmut Boyuneğmez

Giriş
Bu notlar, klasik mantığın temel kavramlarını ve ilkelerini tanıtmayı amaçlar. Mantık, doğru akıl yürütmenin kurallarını inceleyen bir disiplindir ve bilim, matematik, felsefe gibi alanlarda temel bir araçtır. Bu metin önermeler, bağlaçlar, niceleyiciler ve çıkarsama yöntemlerini kapsar. Her bölüm, tanımlar, örnekler ve doğruluk tablolarıyla desteklenerek mantıksal düşünme becerilerini geliştirmeyi hedefler.

1. Önerme

Tanım: Doğru veya yanlış olabilen, kesin bir yargı ifade eden cümlelere önerme denir.
Açıklama: Önermeler, mantığın temel yapı taşlarıdır. Doğruluk değeri bağlama bağlı olabilir, ancak kesin bir yargı sunmalıdır.

Örnek:

• “Dünya yuvarlaktır.” (Doğru)
• “İnsan uçabilir.” (Teknolojik bağlamda doğru, doğal bağlamda yanlış)

Önerme Olmayan Cümleler:

• Emir: “Kapıyı kapat!”
• Soru: “Saat kaç?”
• Ünlem: “Ne güzel bir gün!”
• Belirsiz: “Belki yarın gelir.”

Not: “Cinler ve periler vardır” bir önermedir, çünkü doğru veya yanlış bir yargı ifade eder, ancak bilimsel bağlamda doğrulanamaz.

2. Basit Önerme

Tanım: Yalnızca bir hüküm içeren önermelere basit önerme denir.

Örnek:

• p: “MAR, Marksist bir internet sitesidir.”
• q: “Güneş bir yıldızdır.”

Değili: Bir önermenin doğruluk değerini tersine çevirir. Sembol: ¬p, ∼p veya p’.

Örnek:

• p: “Gerçeklik devrimcidir.” (D) ⇒ ¬p: “Gerçeklik devrimci değildir.” (Y)

Doğruluk Tablosu:

p	¬p
D	Y
Y	D

3. Mantığın Temel İlkeleri

Mantık, doğru akıl yürütmenin kurallarını inceleyen bir disiplindir ve üç temel ilkeye dayanır: özdeşlik, çelişki ve üçüncü halin imkânsızlığı.

i. Özdeşlik İlkesi

Tanım: Bir şey kendisidir. Sembolik: A ≡ A.

Açıklama: Bir önerme veya nesne kendi kimliğini korur.

Örnek:

• “Bir kedi kedidir.”
• p: “5 = 5”

ii. Çelişki İlkesi

Tanım: Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz. Sembolik: ¬(A ∧ ¬A).

Örnek:

• “Bu gül kırmızıdır ve kırmızı değildir.” (p ∧ ¬p, yanlış)
• p: “Ali evdedir.” ⇒ “Ali evdedir ve evde değildir.” (Çelişki)

iii. Üçüncü Halin İmkânsızlığı İlkesi

Tanım: Bir önerme ya doğru ya yanlıştır; üçüncü bir durum mümkün değildir. Sembolik: A ∨ ¬A.

Örnek:

• “Yağmur yağıyor veya yağmıyor.” (p ∨ ¬p)
• “Bir sayı ya çifttir ya tekdir.”

Doğruluk Tablosu:

p	¬p	p ∨ ¬p
D	Y	D
Y	D	D

 4. Bileşik Önerme

Tanım: Basit önermelerin bağlaçlarla (ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak) birleştirilmesiyle oluşan önermeler.

Semboller:

∧: ve

∨: veya

⊻: ya da

⇒: ise

⇔: ancak ve ancak

≡: denk

∃: bazı

∀: her

Örnek: “MAR Marksisttir ve pedagojik amaçlar taşır.” (p ∧ q)

5. Ve Önermesi

Tanım: p ve q önermeleri “ve” bağlacıyla birleşir (p ∧ q). Her iki önerme doğruysa doğrudur.

Örnek: “Marx bir insandır ve devrimcidir.” (p ∧ q)

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ∧ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	Y

Değili: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (De Morgan Kuralı).

Örnek: p ∧ q: "Marx bir insandır ve devrimcidir." (D) ¬(p ∧ q): “Marx insan değildir veya devrimci değildir.” (Y)

6. Veya Önermesi

Tanım: p ve q önermeleri “veya” bağlacıyla birleşir (p ∨ q). En az biri doğruysa doğrudur.

Örnek: “MAR’da teorik yazılar veya videolar vardır.” (p ∨ q)

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ∨ q
D	D	D
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Değili: ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.

Örnek: p  ∨ q: "Ayşe veya Fatma bu işi yapmıştır." ¬(p ∨ q): “Ayşe bu işi yapmamıştır ve Fatma bu işi yapmamıştır.”

7. Ya da Önermesi

Tanım: p ve q önermeleri “ya da” bağlacıyla birleşir (p ⊻ q). Yalnızca biri doğruysa doğrudur.

Örnek: “‘Mantik’ adlı hayvanım kedi ya da köpektir.” (p ⊻ q). İkisi aynı anda olamaz. İkisinin dışında bir hayvan, örn. kuşsa, bu önerme yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ⊻ q
D	D	Y
D	Y	D
Y	D	D
Y	Y	Y

Değili: ¬(p ⊻ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q).

Örnek: p ⊻ q: "Neşe kahve ya da çay içer." Değili: “Neşe ya hem kahve hem çay içer ya da ne kahve ne çay içer.”

8. Koşullu Önerme

Tanım: p ve q önermeleri “ise” bağlacıyla birleşir (p ⇒ q). p doğruysa q da doğru olmalıdır; yalnızca p doğru ve q yanlışsa yanlıştır.

Örnek: “Günlerden pazar ise kahvaltıda omlet yeriz.” (p ⇒ q)

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ⇒ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	D
Y	Y	D

Değili: ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q.

Örnek: “Mert Londra’ya gitmişse çalışmıştır.” ⇒ ¬(p ⇒ q): “Mert Londra’ya gitmiştir ve çalışmamıştır.”

Gerektirme Kavramı:

• Tanım: p ⇒ q, p doğru olduğunda q’nun da doğru olmasını gerektirir. p, q için yeterli; q, p için gereklidir.
• Örnek: “Bugün Cumartesiyse yarın Pazardır.”
• Açıklama: Gerektirme, koşullu önermenin temel özelliğidir ve mantıksal çıkarımda kullanılır.

9. Ters, Karşıt ve Karşıt Ters

Tanım:

• Ters: ¬p ⇒ ¬q
• Karşıt: q ⇒ p
• Karşıt Ters: ¬q ⇒ ¬p

Örnek: p ⇒ q: “Bir canlı insan ise memelidir.”

• Ters: “İnsan değilse memeli değildir.” (Yanlış, balinalar memelidir.)
• Karşıt: “Memeliyse insandır.” (Yanlış, köpekler memelidir.)
• Karşıt Ters: “Memeli değilse insan değildir.” (Doğru, insan memelidir.)

Doğruluk Tablosu:

p	q	¬p	¬q	p ⇒ q	¬q ⇒ ¬p
D	D	Y	Y	D	Y
D	Y	Y	D	Y	D
Y	D	D	Y	D	D
Y	Y	D	D	D	D

Ters (¬p ⇒ ¬q) ve karşıt (q ⇒ p) genellikle p ⇒ q ile denk değildir; ancak karşıt ters (¬q ⇒ ¬p) bazı durumlarda p ⇒ q ile eşdeğerdir (doğruluk tablosunda görüldüğü üzere).

10. Gerekli ve Yeterli Koşul

Tanım:

• Yeterli Koşul: p ⇒ q’da p, q’yu sağlar.
• Gerekli Koşul: q, p için zorunludur.
• p ⇔ q: p ve q hem gerekli hem yeterlidir.

Örnek:

• p ⇒ q: “İnsansa düşünebilen canlıdır.” (p yeterli, q gerekli)
• p ⇔ q: “Bir sayı ancak ve ancak 2 ile bölünebiliyorsa çifttir.”

Tablo: Gerekli ve Yeterli Koşullar

Durum	Gerekli (q)	Yeterli (p)
p ⇒ q	q, p için zorunlu	p, q’yu sağlar
p ⇔ q	q, p için zorunlu	p, q’yu sağlar
	p, q için zorunlu	q, p’yi sağlar

Örnek: “Bir binaya girmek için anahtar gerekli, ama doğru kapı da lazım (yeterli koşul).”

11. Çift Yönlü Gerektirme

Tanım: p ⇔ q, p ve q’nun aynı doğruluk değerine sahip olduğu durumları ifade eder. Her ikisi de birbirine gerekli ve yeterlidir. Sembolik: p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Türkçede “ancak ve ancak” ile ifade edilir.

Doğruluk Tablosu:

p	q	p ⇔ q
D	D	D
D	Y	Y
Y	D	Y
Y	Y	D

Örnek 1: “Bir üçgen ancak ve ancak Öklid düzlemindeyse iç açıları toplamı 180°’dir.”

• p: “Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.”
• q: “Bir üçgen Öklid düzlemindedir.”

Açıklama: Öklid geometrisinde iç açıların toplamı 180°’dir; düzlem dışı geometrilerde (örneğin, küresel) farklıdır.

• p ⇒ q: İç açıları toplamı 180° olan bir üçgen Öklid düzlemindedir.
• q ⇒ p: Öklid düzlemindeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
• p ⇔ q: İç açıların toplamı 180° olması, Öklid düzleminde olmakla eşdeğerdir.

Örnek 2: “Bir sayı ancak ve ancak 2 ile bölünebiliyorsa çifttir.”

• p: “Sayı çifttir.”
• q: “Sayı 2 ile bölünebilir.”
• Açıklama: Çift sayıların tanımı, 2 ile bölünebilmedir.
• p ⇒ q: Çiftse 2 ile bölünebilir.
• q ⇒ p: 2 ile bölünebiliyorsa çifttir.
• p ⇔ q: Çift olmak, 2 ile bölünebilmekle eşdeğerdir.

Örnek 3: “Bir öğrenci ancak ve ancak 50 puan veya üstü aldıysa sınavı geçer.”

• p: “Öğrenci sınavı geçti.”
• q: “Öğrenci 50 puan veya üstü aldı.”
• Açıklama: Geçme kriteri 50 puandır.
• p ⇒ q: Sınavı geçtiyse 50 puan veya üstü almıştır.
• q ⇒ p: 50 puan veya üstü aldıysa sınavı geçer.
• p ⇔ q: Sınavı geçmek, 50 puan veya üstü almakla eşdeğerdir.

Örnek 4: “Bir gün ancak ve ancak ertesi gün Çarşamba ise Salı’dır.”

• p: “Bir gün Salı’dır.”
• q: “Ertesi gün Çarşamba’dır.”
• Açıklama: Salı’nın ertesi Çarşamba’dır; Çarşamba’nın bir öncesi Salı’dır.
• p ⇒ q: Salı ise ertesi gün Çarşamba’dır.
• q ⇒ p: Ertesi gün Çarşamba ise bir önceki gün Salı’dır.
• p ⇔ q: Salı olmak, ertesi gün Çarşamba olmakla eşdeğerdir.

Ek Açıklama:

• p ⇔ q, p ve q’nun eşdeğer olduğunu gösterir.
• Türkçede “ancak ve ancak” (veya eşdeğeri “ise ve ancak”) iki durumun sıkı sıkıya bağlı olduğunu belirtir.
• Örnek: “Bir kapı ancak ve ancak anahtar döndüyse kilitlidir.”
• Not: “Çift Yönlü Gerektirme” terimi, p ⇔ q’nun eşdeğerlik ve gerektirme doğasını vurgular. “Çift Yönlü Koşullu Önerme” koşullu önermelere odaklanır, ancak Türkçe literatürde “Çift Yönlü Gerektirme” daha yaygındır.

12. Totoloji

Tanım: Tüm doğruluk değerlerinde doğru olan bileşik önerme.

Örnek:

• “Yağmur yağar veya yağmaz.” (p ∨ ¬p)
• “Bir sayı çifttir veya tekdir.” (p ∨ ¬p)

Doğruluk Tablosu:

p	¬p	p ∨ ¬p
D	Y	D
Y	D	D

13. Çelişki

Tanım: Tüm doğruluk değerlerinde yanlış olan bileşik önerme.

Örnek:

• “Bu gül kırmızıdır ve kırmızı değildir.” (p ∧ ¬p)
• “Bir sayı 5’tir ve 5 değildir.” (p ∧ ¬p)

Doğruluk Tablosu:

p	¬p	p ∧ ¬p
D	Y	Y
Y	D	Y

14. Niceleyiciler

i. Her Niceleyicisi

Tanım: Bir kümenin tüm elemanları için önerme doğrudur. Sembol: ∀.

Örnek: “Her insan ölümlüdür.” (∀x P(x))

Değili: ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x).

Örnek: “Her insan hayattadır.” Değili: “Bazı insanlar hayatta değildir.”

ii. Bazı Niceleyicisi

Tanım: Bir kümenin en az bir elemanı için önerme doğrudur. Sembol: ∃.

Örnek: “Bazı kediler kuyruksuzdur.” (∃x P(x))

Değili: ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x).

Örnek: “Bazı kediler kuyruksuzdur.” Değili: “Her kedi kuyrukludur.”

iii. Benzersizlik Niceleyicisi

Tanım: Yalnızca bir eleman için önerme doğrudur. Sembol: ∃!.

Örnek: “Ankara, Türkiye’nin başkentidir.” (∃!x P(x))

Uygulama Örneği:

• ∀: “Her öğrenci sınavda 50 puan alırsa geçer.” (∀x P(x))
• ∃: “Bazı öğrenciler 90 puan aldı.” (∃x P(x))
• ∃!: “Yalnızca bir öğrenci 100 puan aldı.” (∃!x P(x))

Not: Her niceleyicisi (∀) bir kümenin tamamını, bazı niceleyicisi (∃) bir kısmını, benzersizlik niceleyicisi (∃!) yalnızca bir elemanı kapsar.

15. Terim, Tanım, Aksiyom/Postülat, Önerme, Bilgi ve Sanı

• Terim: Bilim dallarında kullanılan kavramlar (örn. “önerme”).
• Tanım: Terimin özelliklerini açıklama (örn. “Üçgen, üç kenarı olan şekildir.”).
• Aksiyom/Postülat: Doğruluğu kabul edilen önerme (örn. “Fizik yasaları evrenseldir.”).
• Önerme: Doğruluğu veya yanlışlığı kesin ifade (örn. “Güneş bir yıldızdır.”).
• Sanı: Kısmi kanıtlara dayanan ifade (örn. “Cinler ve periler vardır.”).
• Bilgi: Doğrulanmış doğru inanç (örn. “Dünya yuvarlaktır.”).

16. Çıkarsama Türleri

1. Tümdengelim Yöntemleri

• Doğrudan Çıkarım: p ⇒ q ve p doğruysa q doğrudur.
• Örnek: “MAR Marksistse işçi sınıfının devrimci olduğunu benimser.” p doğru, q doğru.
• Karşıt Tersle Çıkarım: p ⇒ q yerine ¬q ⇒ ¬p.
• Örnek: “Bir gün Salı ise ertesi gün Çarşamba.” → “Bir sonraki gün Çarşamba değilse bir önceki gün Salı değil.”
• Olmayana Ergi: ¬p çelişkiye yol açarsa p doğrudur.
• Örnek 1: “Karekök 2 rasyonel değil. Varsayalım rasyonel (Kerekök 2 = a/b). a² = 2b² çelişkiye yol açar.”
• Örnek 2: Bir sayının asal olup olmadığını inceleyelim. Amacımız, 7’nin asal olduğunu kanıtlamak olsun. 

- Adım 1: Önermeyi Tanımlayalım 

p: “7 asal bir sayıdır.” Asal sayı, yalnızca 1 ve kendisi tarafından bölünebilen sayıdır.

- Adım 2: Tersini Varsayalım

¬p: “7 asal bir sayı değildir.” Yani, 7’nin 1 ve 7 dışında başka bölenleri vardır.

- Adım 3: Varsayımın Sonuçlarını İnceleyelim

7’nin bölenlerini kontrol edelim: 2, 3, 4, 5, 6’ya bölünmüyor (örneğin, 7 ÷ 2 = 3,5; tam sayı değil).

Yalnızca 1 ve 7’ye bölünüyor. Ancak ¬p, başka bölenler olduğunu söylüyor.

- Adım 4: Çelişkiyi Tespit Edelim

¬p (7 asal değil), 7’nin asal tanımına aykırı: 7’nin başka böleni yok. Bu çelişki.

- Adım 5: Sonuca Ulaşalım

¬p çelişkiye yol açtığı için yanlış. Dolayısıyla, p doğru: 7 asal bir sayıdır. 

- Bu basit örnek, olmayana ergi yönteminin tersini varsayıp çelişki aramaya dayandığını gösterir.

• Aksine Örnekle Çürütme: Yanlışlığı örnekle gösterme.
• Örnek: “Tüm kuşlar uçar.” ⇒ Penguen bu önermeyi çürütür.

2. Tümevarım Yöntemi

• Tanım: Gözlemlerden genellemeye ulaşma.
• Örnek: “Karga, serçe uçar.” ⇒ “Bazı kuşlar uçar.”

17. Bir Soru

Soru: “Dünyada F=ma geçerlidir. Diğer gezegenlerde ve evrende geçerli olduğu tümevarımla mı kabul edilir?”

Cevap: Hayır. “Fizik yasaları evrenseldir” aksiyomu, F=ma’nın evrenin her yerinde geçerli olduğunu tümdengelimle çıkarır. Tümevarım, sınırlı gözlemlerle genelleme yapar ve bu durumda yetersizdir.

18. Bağlaçların Doğruluk Tabloları

Tablo Bağlaçların Doğruluk Tabloları

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p ⊻ q	p ⇒ q	p ⇔ q
D	D	D	D	Y	D	D
D	Y	Y	D	D	Y	Y
Y	D	Y	D	D	D	Y
Y	Y	Y	Y	Y	D	D

19. Anahtar Terimler

• Aksiyom/Postülat: Doğruluğu kabul edilen önerme (örn. “Fizik yasaları evrenseldir.”).
• Bileşik Önerme: Basit önermelerin bağlaçlarla birleşmesi (örn. p ∧ q).
• Çift Yönlü Gerektirme: p ⇔ q, p ve q aynı doğruluk değerine sahipse doğru (Bölüm 11).
• Totoloji: Her zaman doğru önerme (örn. p ∨ ¬p).
• Çelişki: Her zaman yanlış önerme (örn. p ∧ ¬p).

20. Sözlük

• Önerme: Doğruluğu veya yanlışlığı kesin ifade (Bölüm 1).
• Totoloji: Tüm durumlarda doğru önerme (Bölüm 12).
• Çelişki: Tüm durumlarda yanlış önerme (Bölüm 13).
• Niceleyici: Kümelerdeki elemanlar için önermeyi tanımlar (Bölüm 14).
• Çift Yönlü Gerektirme: p ⇔ q, p ve q’nun eşdeğeri (Bölüm 11)

Not: Klasik mantık üzerine daha detaylı bir okuma için bağlantı adresimiz:

https://drive.google.com/file/d/1cOcNicly3rJhFGxVuvr2dre99YlNtR8l/view?usp=sharing